Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{36} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{6^{2}} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Schritt 1.2

Vereinfache $3^{2} (\frac{1}{6})$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 9 (\frac{1}{6})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (3) \frac{1}{6}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 4 x = \frac{3}{2} - 6$

Schritt 1.3.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 + 4 x$

Schritt 1.3.3

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} + 4 x$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 12}{2} + 4 x$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{- 9}{2} + 4 x$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - \frac{9}{2} + 4 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ als ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 8$ und $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$\frac{x - 4}{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ als $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ um.

$\frac{x - 4}{2} = (- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2} + 4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $- \frac{9}{2} (- \frac{9}{2})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 1 (\frac{9}{2}) \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{9}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 9 (2 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 x \cdot - 9 + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 x (4 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x \cdot x$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 16 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $18 x$ von $- 18 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $(\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = \frac{81}{4} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x - 4 = \frac{81}{2 (2)} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 4 = \frac{81}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 = \frac{81}{2} - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 16 x^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 32 x^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Bewege $\frac{81}{2}$ .

$x - 4 = - 72 x + 32 x^{2} + \frac{81}{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Stelle $- 72 x$ und $32 x^{2}$ um.

$x - 4 = 32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} = x - 4$

Schritt 4.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} - x = - 4$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 72 x$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} = - 4$

Schritt 4.3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache $32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 8}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Addiere $81$ und $8$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{89}{2} = 0$

Schritt 4.3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (32 x^{2}) + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$64 x^{2} + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $- 73$ mit $2$ .

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$64 x^{2} - 146 x + 89 = 0$

Schritt 4.3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.6

Setze die Werte $a = 64$ , $b = - 146$ und $c = 89$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{146 \pm \sqrt{{(- 146)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 89)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.7.1.1

Potenziere $- 146$ mit $2$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 4 \cdot 64 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 64 \cdot 89$ .

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Schritt 4.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 256 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $89$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 22784}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.3

Subtrahiere $22784$ von $21316$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1468}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.4

Schreibe $- 1468$ als $- 1 (1468)$ um.

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1468}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1468)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}$ um.

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.7

Schreibe $1468$ als $2^{2} \cdot 367$ um.

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Schritt 4.3.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $1468$ heraus.

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{4 (367)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 367}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{146 \pm i \cdot (2 \sqrt{367})}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{2 \cdot 64}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache $\frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$ .

$x = \frac{73 \pm i \sqrt{367}}{64}$

Schritt 4.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{73 + i \sqrt{367}}{64}, \frac{73 - i \sqrt{367}}{64}$