Finite Mathematik Beispiele

$f = \frac{5}{4 L^{2}} \cdot \sqrt{\frac{m}{x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{4 L^{2}} \cdot \sqrt{\frac{m}{x^{2}}} = f$ um.

$\frac{5}{4 L^{2}} \cdot \sqrt{\frac{m}{x^{2}}} = f$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\frac{5}{4 L^{2}} \cdot \sqrt{\frac{m}{x^{2}}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{m}{x^{2}}}$ als ${(\frac{m}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{5}{4 L^{2}} \cdot {(\frac{m}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(\frac{5}{4 L^{2}} \cdot {(\frac{m}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{m}{x^{2}}$ an.

${(\frac{5}{4 L^{2}} \cdot \frac{m^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

${(\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} x^{2 (\frac{1}{2})}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} x^{2 (\frac{1}{2})}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} x^{1}})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Vereinfache.

${(\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} x})}^{2} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 m^{\frac{1}{2}}}{4 L^{2} x}$ an.

$\frac{{(5 m^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(4 L^{2} x)}^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $5 m^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{5^{2} {(m^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(4 L^{2} x)}^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende die Produktregel auf $4 L^{2} x$ an.

$\frac{5^{2} {(m^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(4 L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.3.4

Wende die Produktregel auf $4 L^{2}$ an.

$\frac{5^{2} {(m^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 {(m^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(m^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 m^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 m^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 m^{1}}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.4.3

Vereinfache.

$\frac{25 m}{4^{2} {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.5.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{25 m}{16 {(L^{2})}^{2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(L^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 m}{16 L^{2 \cdot 2} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 3.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{25 m}{16 L^{4} x^{2}} = f^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$16 L^{4} x^{2}, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$16 L^{4} x^{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{25 m}{16 L^{4} x^{2}} = f^{2}$ mit $16 L^{4} x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{25 m}{16 L^{4} x^{2}} = f^{2}$ mit $16 L^{4} x^{2}$ .

$\frac{25 m}{16 L^{4} x^{2}} (16 L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 \frac{25 m}{16 L^{4} x^{2}} (L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16 L^{4} x^{2}$ heraus.

$16 \frac{25 m}{16 (L^{4} x^{2})} (L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{25 m}{16 (L^{4} x^{2})} (L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 m}{L^{4} x^{2}} (L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $L^{4} x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 m}{L^{4} x^{2}} (L^{4} x^{2}) = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$25 m = f^{2} (16 L^{4} x^{2})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 m = 16 f^{2} L^{4} x^{2}$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $16 f^{2} L^{4} x^{2} = 25 m$ um.

$16 f^{2} L^{4} x^{2} = 25 m$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $16 f^{2} L^{4} x^{2} = 25 m$ durch $16 f^{2} L^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 f^{2} L^{4} x^{2} = 25 m$ durch $16 f^{2} L^{4}$ .

$\frac{16 f^{2} L^{4} x^{2}}{16 f^{2} L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 f^{2} L^{4} x^{2}}{16 f^{2} L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f^{2} L^{4} x^{2}}{f^{2} L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{2} L^{4} x^{2}}{f^{2} L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{L^{4} x^{2}}{L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $L^{4}$ .

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{L^{4} x^{2}}{L^{4}} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.2.2.3.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$

Schritt 4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $\frac{25 m}{16 f^{2} L^{4}}$ als ${(\frac{5}{4 f L^{2}})}^{2} m$ um.

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Schritt 4.3.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 m$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2} m}{16 f^{2} L^{4}}}$

Schritt 4.3.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(4 f L^{2})}^{2}$ aus $16 f^{2} L^{4}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2} m}{{(4 f L^{2})}^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.3.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} m}{{(4 f L^{2})}^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{4 f L^{2}})}^{2} m}$

Schritt 4.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{5}{4 f L^{2}} \sqrt{m}$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $\frac{5}{4 f L^{2}}$ und $\sqrt{m}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

Schritt 4.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

Schritt 4.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

Schritt 4.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = - \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = - \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = - \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$

$x = - \frac{5 \sqrt{m}}{4 f L^{2}}$