Finite Mathematik Beispiele

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (8 \cdot 2^{x})$ als $\ln (8) + \ln (2^{x})$ um.

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ als $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ um.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (3^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

Schritt 4.1.3

Dividiere $81$ durch $3$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

Schritt 5

Stelle $\ln (8)$ und $x \ln (2)$ um.

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{8}{27})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Schritt 9

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) - x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Schritt 10

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ durch $\ln (2) - \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ durch $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = - 3$