Finite Mathematik Beispiele

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1

Vereinfache $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere $(2 x - 5) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.3

Multipliziere $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.3.1

Bewege $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $- 36 x$ und $10 x$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Schritt 1.5

Multipliziere $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.6.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.6.1

Bewege $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.8

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.10.1

Bewege $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.11

Mutltipliziere $- 26$ mit $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 26$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $40$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

Schritt 1.6.1.14

Mutltipliziere $40$ mit $7$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Schritt 1.6.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.6.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $14 x^{3}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Schritt 1.6.2.2

Subtrahiere $52 x^{2}$ von $- 7 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Schritt 1.6.2.3

Addiere $- 182 x$ und $80 x$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

Schritt 2

Subtrahiere $91$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $91$ von $280$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

Schritt 4.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $12$ mit $27$ .

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.6

Addiere $324$ und $324$ .

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.8

Mutltipliziere $- 59$ mit $9$ .

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.9

Subtrahiere $531$ von $648$ .

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $- 102$ mit $3$ .

$117 - 306 + 189$

Schritt 4.1.3.11

Subtrahiere $306$ von $117$ .

$- 189 + 189$

Schritt 4.1.3.12

Addiere $- 189$ und $189$ .

$0$

Schritt 4.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

Schritt 4.1.5

Dividiere $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ durch $x - 3$ .

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Schritt 4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Schritt 4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Schritt 4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Schritt 4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{4} - 12 x^{3}$

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Schritt 4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Schritt 4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Schritt 4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 x^{3} - 72 x^{2}$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

Schritt 4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Schritt 4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Schritt 4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Schritt 4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x^{2} - 39 x$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Schritt 4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

Schritt 4.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Schritt 4.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 63 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Schritt 4.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Schritt 4.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 63 x + 189$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Schritt 4.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

Schritt 4.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

Schritt 4.1.6

Schreibe $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 4.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Schritt 4.2.1.3

Setze $- 4.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 4.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.2.1.3.1

Setze $- 4.5$ in das Polynom ein.

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.2

Potenziere $- 4.5$ mit $3$ .

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 91.125$ .

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.4

Potenziere $- 4.5$ mit $2$ .

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.5

Mutltipliziere $24$ mit $20.25$ .

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.6

Addiere $- 364.5$ und $486$ .

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.7

Mutltipliziere $13$ mit $- 4.5$ .

$121.5 - 58.5 - 63$

Schritt 4.2.1.3.8

Subtrahiere $58.5$ von $121.5$ .

$63 - 63$

Schritt 4.2.1.3.9

Subtrahiere $63$ von $63$ .

$0$

Schritt 4.2.1.4

Da $- 4.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 9$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

Schritt 4.2.1.5

Dividiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ durch $2 x + 9$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

Schritt 4.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

Schritt 4.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Schritt 4.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} + 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Schritt 4.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 4.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Schritt 4.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Schritt 4.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 4.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 4.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

Schritt 4.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Schritt 4.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 14 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Schritt 4.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

Schritt 4.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 14 x - 63$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

Schritt 4.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

Schritt 4.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 3 x - 7$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Setze $2 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x + 9$ gleich $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 9$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{2}$

Schritt 8

Setze $2 x^{2} + 3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $2 x^{2} + 3 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 3$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.1.3

Addiere $9$ und $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Dezimalform:

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$