Finite Mathematik Beispiele

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (8000 e^{0.06 t})$ als $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ um.

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{0.06 t})$ durch Herausziehen von $0.06 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $0.06$ mit $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ als $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ um.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Schritt 3.3

Dividiere $0.03$ durch $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8000$ und $47000$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $1000$ aus $8000$ heraus.

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $1000$ aus $47000$ heraus.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Schritt 7

Addiere $0.06 t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{8}{47})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Schritt 9

Faktorisiere $0.02 t$ aus $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $0.02 t$ aus $- t \ln (1.03)$ heraus.

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Schritt 9.2

Faktorisiere $0.02 t$ aus $0.06 t$ heraus.

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Schritt 9.3

Faktorisiere $0.02 t$ aus $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ heraus.

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ durch $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ durch $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.02$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Schritt 10.3.3

Separiere Brüche.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Schritt 10.3.4

Dividiere $1$ durch $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Schritt 10.3.5

Kombiniere $50$ und $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Schritt 10.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 50 \ln (1.03)$ heraus.

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Schritt 10.3.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Schritt 10.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ heraus.

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Schritt 10.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.9.1

Schreibe $- (50 \ln (1.03) - 3)$ als $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ um.

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Schritt 10.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Schritt 10.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Schritt 10.3.9.4

Mutltipliziere $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ mit $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Dezimalform:

$t = 58.16808110 \dots$