Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2

Vereinfache $1 - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{9}{9} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{9 - {(y + 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{3^{2} - {(y + 2)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = y + 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(3 + y + 2) (3 - (y + 2))}{9}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - (y + 2))}{9}$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - y - 1 \cdot 2)}{9}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - y - 2)}{9}$

Schritt 2.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- y + 1)}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y) + 1)}{9}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y) - 1 (- 1))}{9}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y - 1))}{9}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- 1 (y - 1))}{9}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = - \frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{2} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(x - 5)}^{2} = - 4 \frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{- 4 ((y + 5) (y - 1))}{9}$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x - 5)}^{2} = - \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}$ als ${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (y + 5) (y - 1))$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (y + 5) (y - 1)$ heraus.

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{9}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$x - 5 = \pm \sqrt{- ({(\frac{2}{3})}^{2} ((y + 5) (y - 1)))}$

Schritt 6.1.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{2}{3})}^{2}$ um.

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 (y + 5) (y - 1)}$

Schritt 6.1.5

Füge Klammern hinzu.

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 ((y + 5) (y - 1))}$

Schritt 6.1.6

Füge Klammern hinzu.

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (y + 5) (y - 1))}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 5 = \pm \frac{2}{3} \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sqrt{- (y + 5) (y - 1)}$ .

$x - 5 = \pm \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 5 = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Schritt 7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 5 = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Schritt 7.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$