Finite Mathematik Beispiele

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $24 \cdot 2^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Schritt 3

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Schritt 4

Bewege $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $u^{2} - 24 u + 128$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $128$ und deren Summe $- 24$ ist.

$- 16, - 8$

Schritt 5.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Schritt 5.3

Setze $u - 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

Schritt 5.4

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 16) (u - 8) = 0$ wahr machen.

$u = 16, 8$

Schritt 6

Setze $16$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$16 = 2^{x}$

Schritt 7

Löse $16 = 2^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 16$ um.

$2^{x} = 16$

Schritt 7.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{4}$

Schritt 7.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 4$

Schritt 8

Setze $8$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$8 = 2^{x}$

Schritt 9

Löse $8 = 2^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 8$ um.

$2^{x} = 8$

Schritt 9.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{3}$

Schritt 9.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 4, 3$