Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$

Schritt 1

Multipliziere über Kreuz.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$1 \cdot (\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}) = (x - 2) \cdot (3)$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = (x - 2) \cdot (3)$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache $(x - 2) \cdot (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = x \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Schritt 1.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 \cdot x - 2 \cdot 3$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 x - 6$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ als ${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = {(3 x - 6)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 x - 6)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 x - 6)}^{2}$ als $(3 x - 6) (3 x - 6)$ um.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 x - 6) (3 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $18 x$ von $- 18 x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} = - 36 x + 36$

Schritt 4.1.2

Addiere $36 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} + 36 x = 36$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 36 x = 36$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 19 x$ und $36 x$ .

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 = 36$

Schritt 4.2

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 - 36 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $36$ von $30$ .

$- 5 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2} + 17 x - 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$- (5 x^{2}) + 17 x - 6 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $17 x$ heraus.

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 6 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - (- 17 x)$ heraus.

$- (5 x^{2} - 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ heraus.

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 2$ plus $- 15$

$- (5 x^{2} + (- 2 - 15) x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (5 x^{2} - 2 x - 15 x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((5 x^{2} - 2 x) - 15 x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (5 x - 2) - 3 (5 x - 2)) = 0$

Schritt 4.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 2$ .

$- ((5 x - 2) (x - 3)) = 0$

Schritt 4.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (5 x - 2) (x - 3) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4.6

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 4.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (5 x - 2) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{5}, 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$ nicht erfüllen.

$x = 3$