Finite Mathematik Beispiele

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + 28 u + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $28$ ist.

$1, 27$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 1) (u + 27) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{3} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{3} + 1$ gleich $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{3} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 3.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 3.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.6

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 3.2.6.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Setze $x^{3} + 27$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{3} + 27$ gleich $0$ .

$x^{3} + 27 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{3} + 27 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 27$

Schritt 4.2.2

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 27 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{3} + 3^{3} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Schritt 4.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Schritt 4.2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.2.6

Setze $x^{2} - 3 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Setze $x^{2} - 3 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Schritt 4.2.6.2

Löse $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 4.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$