Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 26 x - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 26 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 4 \cdot - 1 - 11 {(- 1)}^{2} - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 - 4 - 11 {(- 1)}^{2} - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3 - 11 {(- 1)}^{2} - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 - 11 \cdot 1 - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 3 - 11 - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.8

Subtrahiere $11$ von $- 3$ .

$- 14 - 26 \cdot - 1 - 12$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere $- 26$ mit $- 1$ .

$- 14 + 26 - 12$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $- 14$ und $26$ .

$12 - 12$

Schritt 1.1.3.11

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 26 x - 12}{x + 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 26 x - 12$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

$26 x$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 14 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

$26 x$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$14 x^{2}$	-	$26 x$
							-	$14 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 14 x^{2} - 14 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

$26 x$

$14 x^{2}$

$14 x$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

$26 x$

$14 x^{2}$

$14 x$

$12 x$

Schritt 1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$26 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x^{2}$

$26 x$

$14 x^{2}$

$14 x$

$12 x$

$12$

Schritt 1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$14 x^{2}$	-	$26 x$
							+	$14 x^{2}$	+	$14 x$
									-	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$14 x^{2}$	-	$26 x$
							+	$14 x^{2}$	+	$14 x$
									-	$12 x$	-	$12$
									-	$12 x$	-	$12$

Schritt 1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x - 12$

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$14 x^{2}$	-	$26 x$
							+	$14 x^{2}$	+	$14 x$
									-	$12 x$	-	$12$
									+	$12 x$	+	$12$

Schritt 1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$26 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$14 x^{2}$	-	$26 x$
							+	$14 x^{2}$	+	$14 x$
									-	$12 x$	-	$12$
									+	$12 x$	+	$12$
												$0$

Schritt 1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 26 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 1.2.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} - 14 \cdot 3 - 12$

Schritt 1.2.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} - 14 \cdot 3 - 12$

Schritt 1.2.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 3 \cdot 9 - 14 \cdot 3 - 12$

Schritt 1.2.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 + 27 - 14 \cdot 3 - 12$

Schritt 1.2.1.3.5

Addiere $27$ und $27$ .

$54 - 14 \cdot 3 - 12$

Schritt 1.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $3$ .

$54 - 42 - 12$

Schritt 1.2.1.3.7

Subtrahiere $42$ von $54$ .

$12 - 12$

Schritt 1.2.1.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 1.2.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12}{x - 3}$

Schritt 1.2.1.5

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12$ durch $x - 3$ .

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Schritt 1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$14 x$

$12$

Schritt 1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$

Schritt 1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 18 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$

Schritt 1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$	-	$12$

Schritt 1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$	-	$12$

Schritt 1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$	-	$12$
							+	$4 x$	-	$12$

Schritt 1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 12$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$	-	$12$
							-	$4 x$	+	$12$

Schritt 1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$4 x$	-	$12$
							-	$4 x$	+	$12$
										$0$

Schritt 1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 6 x + 4$

Schritt 1.2.1.6

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} - 14 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((x - 3) (x^{2} + 6 x + 4)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 6 x + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 6 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 6 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{5}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 6 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 3, - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, 3, - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = - 1, 3, - 0.76393202 \dots, - 5.23606797 \dots$