Finite Mathematik Beispiele

$x^{\frac{- 2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Schritt 1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{- \frac{1}{3}} - 56 = 0$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$

Schritt 2.2

Since $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Das kgV von $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Schritt 4.2

Ersetze $x^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

$1 + u - 56 {(u)}^{2} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Entferne die Klammern.

$1 + u - 56 u^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $1 + u - 56 u^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1.1

Bewege $1$ .

$u - 56 u^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Stelle $u$ und $- 56 u^{2}$ um.

$- 56 u^{2} + u + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 56 u^{2}$ heraus.

$- (56 u^{2}) + u + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $u$ heraus.

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (56 u^{2}) - 1 (- u)$ heraus.

$- (56 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (56 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (56 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 56 \cdot - 1 = - 56$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$- (56 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $7$ plus $- 8$

$- (56 u^{2} + (7 - 8) u - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (56 u^{2} + 7 u - 8 u - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((56 u^{2} + 7 u) - 8 u - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (7 u (8 u + 1) - (8 u + 1)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 u + 1$ .

$- ((8 u + 1) (7 u - 1)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 u + 1 = 0$

$7 u - 1 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $8 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Setze $8 u + 1$ gleich $0$ .

$8 u + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse $8 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 u = - 1$

Schritt 4.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 u = - 1$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 u = - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{8}$

Schritt 4.3.5

Setze $7 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Setze $7 u - 1$ gleich $0$ .

$7 u - 1 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Löse $7 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 u = 1$

Schritt 4.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 u = 1$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 u = 1$ durch $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Schritt 4.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Schritt 4.5

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}$ auf für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{8})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{8}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}$

Schritt 4.5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = - \frac{1}{8^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.4

Potenziere $8$ mit $3$ .

$x = - \frac{1}{512}$

Schritt 4.6

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{7}$ auf für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{7})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{7}$ an.

$x = \frac{1^{3}}{7^{3}}$

Schritt 4.6.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1}{7^{3}}$

Schritt 4.6.2.2.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$x = \frac{1}{343}$

Schritt 4.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Dezimalform:

$x = - 0.00195312 \dots, 0.00291545 \dots$