Finite Mathematik Beispiele

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Schritt 1

Schreibe $5^{2 x}$ als Potenz um.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Schritt 2

Ersetze $5^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $u^{2} + 3 u - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $3$ ist.

$- 4, 7$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Schritt 3.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 3.5

Setze $u + 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u + 7$ gleich $0$ .

$u + 7 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 7$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u + 7) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 7$

Schritt 4

Setze $4$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$4 = 5^{x}$

Schritt 5

Löse $4 = 5^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 4$ um.

$5^{x} = 4$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (4)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (4)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 6

Setze $- 7$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$- 7 = 5^{x}$

Schritt 7

Löse $- 7 = 5^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = - 7$ um.

$5^{x} = - 7$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 7)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $5^{x} = - 7$

Keine Lösung

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.86135311 \dots$