Finite Mathematik Beispiele

$\frac{4 x \sqrt{x^{3} - 1} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Schritt 1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x \sqrt{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$4 x \sqrt{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Schritt 2.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1^{3}}} = 0$

Schritt 2.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}} = 0$

Schritt 2.1.1.4.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}} = 0$

Schritt 2.1.1.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Schritt 2.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}) = 0$

Schritt 2.1.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.2

Potenziere $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ mit $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.3

Potenziere $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ mit $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} {\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6

Schreibe ${\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ als $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ um.

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Schritt 2.1.1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ als ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{({((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{1}} = 0$

Schritt 2.1.1.6.6.5

Vereinfache.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.2

Um $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ und $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ aus $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ aus $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$ heraus.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Faktorisiere $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ aus $- 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ heraus.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Faktorisiere $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ aus $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})$ heraus.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.1.5.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.3.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.3.3

Addiere $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1.5.5.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + 0 - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.5.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} + 4 \cdot - 1 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} - 4 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.1.5.8

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ als ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x {(x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x {(x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x {(x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.3.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{3} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.3.4.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Schritt 2.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1), 1$

Schritt 2.4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Schritt 2.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ mit $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ mit $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.2.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$x^{3} x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.5.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} x^{1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot (x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.2.5

Entferne die Klammern.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.3.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.1.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.1.3

Addiere $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ und $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.2.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.3.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)$

Schritt 2.5.3.2.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.3.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.5.3.2.3.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + 0 - 1)$

Schritt 2.5.3.2.3.1.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} - 1)$

Schritt 2.5.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3} - 1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4) = 0$

Schritt 2.6.1.3

Faktorisiere $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4)$ heraus.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$

Schritt 2.6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Schritt 2.6.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.6.4

Setze ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.1

Setze ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.6.4.2

Löse ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.2.1

Setze $x^{3} - 1$ gleich $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 2.6.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 1$

Schritt 2.6.4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.4.2.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.4.2.2.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.2.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6.4.2.2.6

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.2.2.6.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.4.2.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.4.2.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.4.2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.5

Setze $x^{3} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.5.1

Setze $x^{3} - 4$ gleich $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Schritt 2.6.5.2

Löse $x^{3} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 4$

Schritt 2.6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Schritt 2.6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[3]{4}$