Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{x + 150} - \sqrt{x + 55} = 5$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{x + 55}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 150} = 5 + \sqrt{x + 55}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 150}}^{2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 150}$ als ${(x + 150)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 150)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 150)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 150)}^{1} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 150 = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$ als $(5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$ um.

$x + 150 = (5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 150 = 5 (5 + \sqrt{x + 55}) + \sqrt{x + 55} (5 + \sqrt{x + 55})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 150 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} (5 + \sqrt{x + 55})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 150 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \cdot 5 + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \cdot 5 + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 55}$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \cdot \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x + 55}$ mit $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1} \sqrt{x + 55}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 55}$ mit $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1} {\sqrt{x + 55}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x + 55}}^{2}$ als $x + 55$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 55}$ als ${(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + x + 55$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $25$ und $55$ .

$x + 150 = 80 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $5 \sqrt{x + 55}$ und $5 \sqrt{x + 55}$ .

$x + 150 = 80 + 10 \sqrt{x + 55} + x$

Schritt 4

Löse nach $10 \sqrt{x + 55}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $80 + 10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150$ um.

$80 + 10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $10 \sqrt{x + 55}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150 - 80$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \sqrt{x + 55} = x + 150 - 80 - x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 150 - 80 - x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 0 + 150 - 80$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $150$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 150 - 80$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $80$ von $150$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 70$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(10 \sqrt{x + 55})}^{2} = 70^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 55}$ als ${(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$10^{2} {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$100 {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$100 {(x + 55)}^{1} = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$100 (x + 55) = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$100 x + 100 \cdot 55 = 70^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $100$ mit $55$ .

$100 x + 5500 = 70^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $70$ mit $2$ .

$100 x + 5500 = 4900$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $5500$ von beiden Seiten der Gleichung.

$100 x = 4900 - 5500$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $5500$ von $4900$ .

$100 x = - 600$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $100 x = - 600$ durch $100$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $100 x = - 600$ durch $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{- 600}{100}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 x}{100} = \frac{- 600}{100}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 600}{100}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $- 600$ durch $100$ .

$x = - 6$