Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{9 + 4 x} = - 2$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{9 + 4 x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x + 1} = - 2 + \sqrt{9 + 4 x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 1}$ als ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 1)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 1 = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ als $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ um.

$2 x + 1 = (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = - 2 (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \cdot \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{9 + 4 x}$ mit $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} \sqrt{9 + 4 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{9 + 4 x}$ mit $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} {\sqrt{9 + 4 x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$ als $9 + 4 x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 4 x}$ als ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 9 + 4 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $4$ und $9$ .

$2 x + 1 = 13 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{9 + 4 x}$ von $- 2 \sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Schritt 4

Löse nach $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$ um.

$13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1 - 13$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = 2 x + 1 - 13 - 4 x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x + 1 - 13$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $13$ von $1$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x - 12$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{9 + 4 x})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 4 x}$ als ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(9 + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (9 + 4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \cdot 9 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$144 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$144 + 64 x = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(- 2 x - 12)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(- 2 x - 12)}^{2}$ als $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ um.

$144 + 64 x = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 48 x + 144$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 144 + 64 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $64 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 64 x = 144$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $64 x$ von $48 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 144 = 144$

Schritt 7.3

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 16 x + 144 - 144 = 0$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 16 x + 144 - 144$ .

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $144$ von $144$ .

$4 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $4 x^{2} - 16 x$ und $0$ .

$4 x^{2} - 16 x = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} - 16 x$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 x (x) - 16 x = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x - 4) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.8

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$