Finite Mathematik Beispiele

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $z^{\frac{3}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Schritt 2

Ersetze $z^{\frac{3}{5}}$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u^{\frac{13}{3}}$ heraus.

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $2 u$ aus $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ heraus.

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $2 u$ aus $12 u$ heraus.

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Schritt 3.1.1.4

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ heraus.

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Schritt 3.1.1.5

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ heraus.

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $u^{\frac{10}{3}}$ als ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ um.

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Schritt 3.1.3

Es sei $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.5.1

Ersetze alle $u$ durch $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $u^{\frac{5}{3}} - 6$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u^{\frac{5}{3}} - 6$ gleich $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Vereinfache.

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5

Setze $u^{\frac{5}{3}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u^{\frac{5}{3}} - 1$ gleich $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Schritt 3.5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $z$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Schritt 5

Löse nach $z^{\frac{3}{5}} = 0$ auf für $z$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z = 0^{5}$

Schritt 5.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$z = 0$

Schritt 6

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$z = 6$

Schritt 7

Löse nach $z^{\frac{3}{5}} = 1$ auf für $z$ .

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Schritt 7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Vereinfache.

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z = 1$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$z = 0, 6, 1$