Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{z - 7} + \sqrt{z + 9} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{z + 9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{z - 7} = 8 - \sqrt{z + 9}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{z - 7}}^{2} = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z - 7}$ als ${(z - 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(z - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(z - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(z - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(z - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(z - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(z - 7)}^{1} = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$z - 7 = {(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(8 - \sqrt{z + 9})}^{2}$ als $(8 - \sqrt{z + 9}) (8 - \sqrt{z + 9})$ um.

$z - 7 = (8 - \sqrt{z + 9}) (8 - \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(8 - \sqrt{z + 9}) (8 - \sqrt{z + 9})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z - 7 = 8 (8 - \sqrt{z + 9}) - \sqrt{z + 9} (8 - \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$z - 7 = 8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{z + 9}) - \sqrt{z + 9} (8 - \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z - 7 = 8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{z + 9}) - \sqrt{z + 9} \cdot 8 - \sqrt{z + 9} (- \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$z - 7 = 64 + 8 (- \sqrt{z + 9}) - \sqrt{z + 9} \cdot 8 - \sqrt{z + 9} (- \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - \sqrt{z + 9} \cdot 8 - \sqrt{z + 9} (- \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} - \sqrt{z + 9} (- \sqrt{z + 9})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{z + 9} (- \sqrt{z + 9})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + 1 \sqrt{z + 9} \sqrt{z + 9}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{z + 9}$ mit $1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + \sqrt{z + 9} \sqrt{z + 9}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{z + 9}$ mit $1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {\sqrt{z + 9}}^{1} \sqrt{z + 9}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{z + 9}$ mit $1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {\sqrt{z + 9}}^{1} {\sqrt{z + 9}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {\sqrt{z + 9}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {\sqrt{z + 9}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{z + 9}}^{2}$ als $z + 9$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z + 9}$ als ${(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {({(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {(z + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {(z + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {(z + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + {(z + 9)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$z - 7 = 64 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + z + 9$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $64$ und $9$ .

$z - 7 = 73 - 8 \sqrt{z + 9} - 8 \sqrt{z + 9} + z$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $8 \sqrt{z + 9}$ von $- 8 \sqrt{z + 9}$ .

$z - 7 = 73 - 16 \sqrt{z + 9} + z$

Schritt 4

Löse nach $- 16 \sqrt{z + 9}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $73 - 16 \sqrt{z + 9} + z = z - 7$ um.

$73 - 16 \sqrt{z + 9} + z = z - 7$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 16 \sqrt{z + 9}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $73$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 \sqrt{z + 9} + z = z - 7 - 73$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 \sqrt{z + 9} = z - 7 - 73 - z$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $z - 7 - 73 - z$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$- 16 \sqrt{z + 9} = 0 - 7 - 73$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 16 \sqrt{z + 9} = - 7 - 73$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $73$ von $- 7$ .

$- 16 \sqrt{z + 9} = - 80$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 16 \sqrt{z + 9})}^{2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z + 9}$ als ${(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 16 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 16 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 16 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 16)}^{2} {({(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$256 {({(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(z + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 {(z + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$256 {(z + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$256 {(z + 9)}^{1} = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$256 (z + 9) = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$256 z + 256 \cdot 9 = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $256$ mit $9$ .

$256 z + 2304 = {(- 80)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $- 80$ mit $2$ .

$256 z + 2304 = 6400$

Schritt 7

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $2304$ von beiden Seiten der Gleichung.

$256 z = 6400 - 2304$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $2304$ von $6400$ .

$256 z = 4096$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $256 z = 4096$ durch $256$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $256 z = 4096$ durch $256$ .

$\frac{256 z}{256} = \frac{4096}{256}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $256$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{256 z}{256} = \frac{4096}{256}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{4096}{256}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $4096$ durch $256$ .

$z = 16$