Finite Mathematik Beispiele

$| 1 + i z | = | 1 - i z |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - i z | = | 1 + i z |$ um.

$| 1 - i z | = | 1 + i z |$

Schritt 2

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$1 - i z = 1 + i z$

$1 - i z = - (1 + i z)$

$- (1 - i z) = 1 + i z$

$- (1 - i z) = - (1 + i z)$

Schritt 3

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$1 - i z = 1 + i z$

$1 - i z = - (1 + i z)$

Schritt 4

Löse $1 - i z = 1 + i z$ nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $i z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - i z - i z = 1$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $i z$ von $- i z$ .

$1 - 2 i z = 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 i z = 1 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 2 i z = 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i z = 0$ durch $- 2 i$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 i z = 0$ durch $- 2 i$ .

$\frac{- 2 i z}{- 2 i} = \frac{0}{- 2 i}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 i z}{- 2 i} = \frac{0}{- 2 i}$

Schritt 4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{i z}{i} = \frac{0}{- 2 i}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i z}{i} = \frac{0}{- 2 i}$

Schritt 4.3.2.2.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{0}{- 2 i}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 2$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$z = \frac{2 (0)}{- 2 i}$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$z = \frac{2 (0)}{2 (- i)}$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{2 \cdot 0}{2 (- i)}$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{0}{- i}$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{0}{- i}$ mit der Konjugierten von $- i$ , um den Nenner reell zu machen.

$z = \frac{0}{- i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.3.3.1

Kombinieren.

$z = \frac{0 i}{- i i}$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$z = \frac{0}{- i i}$

Schritt 4.3.3.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.3.3.1

Füge Klammern hinzu.

$z = \frac{0}{- (i i)}$

Schritt 4.3.3.3.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$z = \frac{0}{- (i^{1} i)}$

Schritt 4.3.3.3.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$z = \frac{0}{- (i^{1} i^{1})}$

Schritt 4.3.3.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \frac{0}{- i^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.3.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$z = \frac{0}{- i^{2}}$

Schritt 4.3.3.3.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$z = \frac{0}{- - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$z = \frac{0}{1}$

Schritt 4.3.3.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$z = 0$

Schritt 5

Löse $1 - i z = - (1 + i z)$ nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $- (1 + i z)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$1 - i z = 0 + 0 - (1 + i z)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$1 - i z = - (1 + i z)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - i z = - 1 \cdot 1 - (i z)$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - i z = - 1 - i z$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $i z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 - i z + i z = - 1$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - i z + i z$ .

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- i z$ und $i z$ .

$1 + 0 = - 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 = - 1$

Schritt 5.3

Da $1 \neq - 1$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$z = 0$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $| 1 + i z | = | 1 - i z |$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$