Finite Mathematik Beispiele

$a (n) = (\frac{7 \sqrt{n}}{1 + 3 \sqrt{n}})$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\frac{7 \sqrt{n}}{1 + 3 \sqrt{n}} = a n$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$a n \cdot (1 + 3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $a n \cdot (1 + 3 \sqrt{n})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a n \cdot 1 + a n (3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a n + a n (3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Schritt 2.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a n + 3 a n \sqrt{n} = 7 \sqrt{n}$

Schritt 3

Löse nach $\sqrt{n}$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $7 \sqrt{n}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a n + 3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n} = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $a n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n} = - a n$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\sqrt{n}$ aus $3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n}$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\sqrt{n}$ aus $3 a n \sqrt{n}$ heraus.

$\sqrt{n} (3 a n) - 7 \sqrt{n} = - a n$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $\sqrt{n}$ aus $- 7 \sqrt{n}$ heraus.

$\sqrt{n} (3 a n) + \sqrt{n} \cdot - 7 = - a n$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $\sqrt{n}$ aus $\sqrt{n} (3 a n) + \sqrt{n} \cdot - 7$ heraus.

$\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$ durch $3 a n - 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$ durch $3 a n - 7$ .

$\frac{\sqrt{n} (3 a n - 7)}{3 a n - 7} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a n - 7$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{n} (3 a n - 7)}{3 a n - 7} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $\sqrt{n}$ durch $1$ .

$\sqrt{n} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{n} = - \frac{a n}{3 a n - 7}$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{n}}^{2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{n}$ als $n^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(n^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$n^{1} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

$n = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{a n}{3 a n - 7}$ an.

$n = {(- 1)}^{2} {(\frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{a n}{3 a n - 7}$ an.

$n = {(- 1)}^{2} \frac{{(a n)}^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $a n$ an.

$n = {(- 1)}^{2} \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$n = 1 \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ mit $1$ .

$n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Schritt 6

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, {(3 a n - 7)}^{2}$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(3 a n - 7)}^{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ mit ${(3 a n - 7)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ mit ${(3 a n - 7)}^{2}$ .

$n {(3 a n - 7)}^{2} = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}} {(3 a n - 7)}^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 a n - 7)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n {(3 a n - 7)}^{2} = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}} {(3 a n - 7)}^{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$n {(3 a n - 7)}^{2} = a^{2} n^{2}$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $a^{2} n^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n {(3 a n - 7)}^{2} - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.2.1

Schreibe ${(3 a n - 7)}^{2}$ als $(3 a n - 7) (3 a n - 7)$ um.

$n ((3 a n - 7) (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.2

Multipliziere $(3 a n - 7) (3 a n - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n (3 a n (3 a n - 7) - 7 (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n (3 a n (3 a n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n (3 a n (3 a n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.2.3.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.3.1.1.1

Bewege $a$ .

$n (3 (a \cdot a) n (3 n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$n (3 a^{2} n (3 n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.2

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.3.1.2.1

Bewege $n$ .

$n (3 a^{2} (n \cdot n) \cdot 3 + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n (3 a^{2} n^{2} \cdot 3 + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$n (9 a^{2} n^{2} + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 21 (a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 21 a n + 49) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.3.2

Subtrahiere $21 a n$ von $- 21 a n$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 42 a n + 49) - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$n (9 a^{2} n^{2}) + n (- 42 a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1.2.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 n (a^{2} n^{2}) + n (- 42 a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 n (a^{2} n^{2}) - 42 n (a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.5.3

Bringe $49$ auf die linke Seite von $n$ .

$9 n (a^{2} n^{2}) - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.2.6.1

Multipliziere $n$ mit $n^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.6.1.1

Bewege $n^{2}$ .

$9 (n^{2} n) a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $n$ .

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Schritt 6.3.1.2.6.1.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$9 (n^{2} n^{1}) a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 n^{2 + 1} a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6.2

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.6.2.1

Bewege $n$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 (n \cdot n) a + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.6.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

$9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $n$ aus $9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $n$ aus $9 n^{3} a^{2}$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2}) - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $n$ aus $- 42 n^{2} a$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $n$ aus $49 n$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.4

Faktorisiere $n$ aus $- a^{2} n^{2}$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + n \cdot 49 + n (- a^{2} n) = 0$

Schritt 6.3.2.5

Faktorisiere $n$ aus $n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a)$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a) + n \cdot 49 + n (- a^{2} n) = 0$

Schritt 6.3.2.6

Faktorisiere $n$ aus $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a) + n \cdot 49$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49) + n (- a^{2} n) = 0$

Schritt 6.3.2.7

Faktorisiere $n$ aus $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49) + n (- a^{2} n)$ heraus.

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n) = 0$

Schritt 6.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n = 0$

$9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $n$ gleich $0$ .

$n = 0$

Schritt 6.3.5

Setze $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Setze $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n$ gleich $0$ .

$9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$

Schritt 6.3.5.2

Löse $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$ nach $n$ auf.

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Schritt 6.3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3.5.2.2

Setze die Werte $a = 9 a^{2}$ , $b = - 42 a - a^{2}$ und $c = 49$ in die Quadratformel ein und löse nach $n$ auf.

$\frac{- (- 42 a - a^{2}) \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2} \cdot 49)}}{2 (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n = \frac{- (- 42 a) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 42$ mit $- 1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.3

Multipliziere $- - a^{2}$ .

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Schritt 6.3.5.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$n = \frac{42 a + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.4

Schreibe $4 \cdot 9 a^{2} \cdot 49$ als ${(2 \cdot 3 a \cdot 7)}^{2}$ um.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - {(2 \cdot (3 a) \cdot 7)}^{2}}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 42 a - a^{2}$ und $b = 2 \cdot 3 a \cdot 7$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(- 42 a - a^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1

Faktorisiere $a$ aus $- 42 a - a^{2} + 2 \cdot 3 a \cdot 7$ heraus.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1.1

Faktorisiere $a$ aus $- 42 a$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 - a^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a^{2}$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 + a (- a) + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1.3

Faktorisiere $a$ aus $2 \cdot 3 a \cdot 7$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 + a (- a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1.4

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot - 42 + a (- a)$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot (- 42 - a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.1.5

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot (- 42 - a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 2 \cdot 3 \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.2

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 6.3.5.2.3.1.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 6 \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 42) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.3

Addiere $- 42$ und $42$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- a + 0) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.4

Addiere $- a$ und $0$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a \cdot (- 1 a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7)))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{1 + 1} (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.6.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (6 a \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (42 a))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.6.6.3

Mutltipliziere $42$ mit $- 1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - 42 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.7

Subtrahiere $42 a$ von $- 42 a$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 84 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.8

Faktorisiere $a$ aus $- a^{2} - 84 a$ heraus.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.8.1

Faktorisiere $a$ aus $- a^{2}$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a) - 84 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.8.2

Faktorisiere $a$ aus $- 84 a$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a) + a \cdot - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.8.3

Faktorisiere $a$ aus $a (- a) + a \cdot - 84$ heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.9.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a^{2} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{1 + 2} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{3} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.10

Schreibe $- a^{3} (- a - 84)$ als $a^{2} \cdot (- a (- a - 84))$ um.

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Schritt 6.3.5.2.3.1.10.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.10.2

Stelle $- 1$ und $a^{2}$ um.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.10.3

Füge Klammern hinzu.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (a (- a - 84)))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.10.4

Füge Klammern hinzu.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm a \sqrt{- a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Schritt 6.3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm a \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a^{2}}$

Schritt 6.3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n) = 0$ wahr machen.

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$