Finite Mathematik Beispiele

$p^{2} \cdot k^{2} + p (k \cdot n - k) + n = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{2} k^{2} + p (k n) + p (- k) + n = 0$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{2} k^{2} + p k n - p k + n = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = p^{2}$ , $b = p n - p$ und $c = n$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{- (p n - p) \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot (p^{2} \cdot n)}}{2 p^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- (p n) + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $- - p$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k = \frac{- p n + 1 p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe ${(p n - p)}^{2}$ als $(p n - p) (p n - p)$ um.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{(p n - p) (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $(p n - p) (p n - p)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n - p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.1.1

Bewege $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p \cdot p n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.1.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.2.1

Bewege $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n \cdot n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p n p - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.4

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.4.1

Bewege $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p \cdot p n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.4.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.5

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.5.1

Bewege $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p \cdot p n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.5.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p \cdot p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.7

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.7.1

Bewege $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 (p \cdot p)) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.7.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p^{2}) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + 1 p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.1.9

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $p^{2} n$ von $- p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - 2 p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.6

Subtrahiere $4 p^{2} n$ von $- 2 p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7

Schreibe $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} n^{2}$ heraus.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere $p^{2}$ aus $- 6 p^{2} n$ heraus.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7.1.4

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1$ heraus.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7.1.5

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)$ heraus.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1 - 6 n)}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.7.2

Stelle die Terme um.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1)}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1^{2})}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1^{2}}}{2 p^{2}}$

Schritt 4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p^{2}}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$k = - \frac{n - 1 - \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$

$k = - \frac{n - 1 + \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$