Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x}{33 + x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x + 1}{2 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x}{33 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 - x) (33 + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{2 - x}$ mit $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{33 + x}$ mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(33 + x) (2 - x)$ um.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x + 1) (33 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Bringe $33$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere $33$ mit $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $33 x$ und $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.6.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $2 x$ von $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.8

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 2.5.9

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 32$ und $c = 33$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $264$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $760$ als $2^{2} \cdot 190$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $760$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 10

Subtrahiere $33$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 33$

Schritt 11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

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Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Schritt 13.2.2

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 13.2.2.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 13.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 13.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 13.2.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 13.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 13.2.3

Setze $33 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.3.1

Setze $33 + x$ gleich $0$ .

$33 + x = 0$

Schritt 13.2.3.2

Subtrahiere $33$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 33$

Schritt 13.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 - x) (33 + x) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 33$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 33$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 33$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 36$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 36$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $- 0.92105263$ ist kleiner als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 17$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $- 17$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $- 0.84210526$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 1.0625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.13793103$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.4

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.4.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Schritt 15.4.3

Die linke Seite $0.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 15.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Schritt 15.5.3

Die linke Seite $- 2.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{108}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 33$ Wahr

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falsch

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Wahr

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 33$ Wahr

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falsch

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Wahr

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 33$ oder $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ oder $x > 2$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Schritt 18