Finite Mathematik Beispiele

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - x = 6$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ nicht erfüllen.

$x = 3$