Finite Mathematik Beispiele

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

Schritt 1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\ln (x - e^{6} x))} = e^{0}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x - e^{6} x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ um.

$\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$

Schritt 3.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{e^{0}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x - e^{6} x$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x - e^{6} x = e^{e^{0}}$ um.

$x - e^{6} x = e^{e^{0}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $e^{e^{0}}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - e^{6} x = e^{1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache.

$x - e^{6} x = e$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x - e^{6} x$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - e^{6} x = e$

Schritt 3.4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{6} x = e$

Schritt 3.4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- e^{6} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = e$

Schritt 3.4.3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ heraus.

$x (1 - e^{6}) = e$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x (1^{3} - e^{6}) = e$

Schritt 3.4.3.3

Schreibe $e^{6}$ als ${(e^{2})}^{3}$ um.

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = e$

Schritt 3.4.3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Schritt 3.4.3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Schritt 3.4.3.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Schritt 3.4.3.5.1.3

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Schritt 3.4.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

Schritt 3.4.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

Schritt 3.4.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = e$

Schritt 3.4.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ durch $1 - e^{6}$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ durch $1 - e^{6}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Schreibe $e^{6}$ als ${(e^{2})}^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.3

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.2.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.4.3

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.2.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{2} + e^{4}$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.2.2.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x = \frac{e}{1^{3} - e^{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Schreibe $e^{6}$ als ${(e^{2})}^{3}$ um.

$x = \frac{e}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

$x = \frac{e}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.3.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{e}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.4.3

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.4.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Schritt 3.4.4.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Dezimalform:

$x = - 0.00675469 \dots$