Finite Mathematik Beispiele

$\log (x) = \frac{1}{3} \cdot \log (a) + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \cdot \log (a - b)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\log (a)$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \log (a - b)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\log (a - b)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ mit $6$ .

$\log (x) \cdot 6 = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log (x)$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 (2)) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log (x) = \log (a) \cdot 2 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log (a)$ .

$6 \log (x) = 2 \cdot \log (a) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\log (a - b)}{2}$ in den Zähler.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot 6$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 (3))$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \log (a - b) \cdot 3$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $2 \log (a)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Schritt 4.1.1.2

Vereinfache $24 \log (b)$ , indem du $24$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $- 12 \log (c)$ , indem du $12$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - 3 \log (a - b)$

Schritt 4.1.1.4

Vereinfache $- 3 \log (a - b)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{6}) = \log (a^{2} b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Schritt 4.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Schritt 4.1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}}{{(a - b)}^{3}})$

Schritt 4.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}} \cdot \frac{1}{{(a - b)}^{3}})$

Schritt 4.1.6

Kombinieren.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24} \cdot 1}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{6} = \frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$ als ${(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}$ um.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(b^{4})}^{6}$ aus $a^{2} b^{24}$ heraus.

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(c^{2})}^{6}$ aus $c^{12} {(a - b)}^{3}$ heraus.

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Ordne den Bruch $\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{{(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$ als $\frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.4

Kombinieren.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Schreibe $\sqrt[6]{a^{2}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.6.1

Schreibe $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ als $\sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}}$

Schritt 6.2.6.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ mit $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$

Schritt 6.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ mit $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}$

Schritt 6.2.8.2

Bewege $\sqrt{a - b}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (\sqrt{a - b} \sqrt{a - b})}$

Schritt 6.2.8.3

Potenziere $\sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b})}$

Schritt 6.2.8.4

Potenziere $\sqrt{a - b}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1})}$

Schritt 6.2.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Schritt 6.2.8.7

Schreibe ${\sqrt{a - b}}^{2}$ als $a - b$ um.

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Schritt 6.2.8.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a - b}$ als ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.8.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.8.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.8.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{1}}$

Schritt 6.2.8.7.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.9.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 6.2.9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a - b}$ als ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.1.2

Schreibe ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ als ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.1.3

Schreibe ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{a}$ als $a^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{1}{3}})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.1.5

Schreibe $a^{\frac{1}{3}}$ als $a^{\frac{2}{6}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{2}{6}})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.1.6

Schreibe $a^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{a^{2}}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[6]{a^{2}})}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.9.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.2.10

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$ um.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$