Finite Mathematik Beispiele

$\log (4) + \log (x) = \log (5) - \log (x)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (4 x) = \log (5) - \log (x)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (4 x) = \log (\frac{5}{x})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$4 x = \frac{5}{x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $4 x = \frac{5}{x}$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $4 x = \frac{5}{x}$ mit $x$ .

$4 x \cdot x = \frac{5}{x} x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) = \frac{5}{x} x$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} = \frac{5}{x} x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} = \frac{5}{x} x$

Schritt 4.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} = 5$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{4}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{5}}{2}, - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (4) + \log (x) = \log (5) - \log (x)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.11803398 \dots$