Finite Mathematik Beispiele

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ um.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $e^{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 2 - e^{8}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.6

Addiere $9$ und $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Dezimalform:

$x = 39.37695294 \dots$