Finite Mathematik Beispiele

$5 x (10 - 3 x) = 15$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $5 x (10 - 3 x) = 15$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x (10 - 3 x) = 15$ durch $5$ .

$\frac{5 x (10 - 3 x)}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x (10 - 3 x)}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.1.1.2

Dividiere $x (10 - 3 x)$ durch $1$ .

$x (10 - 3 x) = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 10 + x (- 3 x) = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.1.3

Stelle um.

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Schritt 1.2.1.3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$10 \cdot x + x (- 3 x) = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 \cdot x - 3 x \cdot x = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Bewege $x$ .

$10 x - 3 (x \cdot x) = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 x - 3 x^{2} = \frac{15}{5}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $15$ durch $5$ .

$10 x - 3 x^{2} = 3$

Schritt 2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x - 3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x - 3 x^{2} - 3$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle $10 x$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} + 10 x - 3 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) + 10 x - 3 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (- 10 x) - 3 = 0$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- (3 x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 3 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 10 x) - 1 (3)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$- (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 5

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}, 3$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}, 3$