Finite Mathematik Beispiele

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache

$5 \log_{2} (x)$ , indem du

$5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Ausdruck

$\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere

$x^{3}$ aus

$x^{5}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere

$x^{3}$ aus

$2 x^{3}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Schritt 2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Schritt 2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Schritt 2.1.4

Schreibe

$\frac{x^{2}}{2}$ als

$x^{2} \cdot 2^{- 1}$ um.

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Schritt 2.1.5

Schreibe

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ als

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ um.

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Schritt 2.1.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um

$- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Schritt 2.1.7

Die logarithmische Basis

$2$ von

$2$ ist

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Schritt 3.2

Addiere

$5$ und

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Schritt 4

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 4.1

Für logarithmische Gleichungen ist

$\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu

$b^{y} = x$ mit

$x > 0$ ,

$b > 0$ , and

$b \neq 1$ . In diesem Fall:

$b = 2$ ,

$x = x^{2}$ und

$y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Schritt 4.2

Setze die Werte von

$b$ ,

$x$ , und

$y$ in die Gleichung

$b^{y} = x$ ein.

$2^{6} = x^{2}$

Schritt 5

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als

$x^{2} = 2^{6}$ um.

$x^{2} = 2^{6}$

Schritt 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Schritt 5.3

Vereinfache

$\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Schritt 5.3.1

Potenziere

$2$ mit

$6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 5.3.2

Schreibe

$64$ als

$8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 5.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ nicht erfüllen.

$x = 8$