Finite Mathematik Beispiele

$5 ({1.06}^{2 x + 1}) = 11$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot {1.06}^{2 x + 1} = 11$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot {1.06}^{2 x + 1} = 11$ durch $5$ .

$\frac{5 \cdot {1.06}^{2 x + 1}}{5} = \frac{11}{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot {1.06}^{2 x + 1}}{5} = \frac{11}{5}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere ${1.06}^{2 x + 1}$ durch $1$ .

${1.06}^{2 x + 1} = \frac{11}{5}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.06}^{2 x + 1}) = \ln (\frac{11}{5})$

Schritt 3

Zerlege $\ln ({1.06}^{2 x + 1})$ durch Herausziehen von $2 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 1) \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(2 x + 1) \ln (1.06)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (1.06) + 1 \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\ln (1.06)$ mit $1$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06) - \ln (\frac{11}{5}) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{1.06}{\frac{11}{5}}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06 (\frac{5}{11})) = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $1.06 (\frac{5}{11})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $1.06$ und $\frac{5}{11}$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{1.06 \cdot 5}{11}) = 0$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $1.06$ mit $5$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{5.3}{11}) = 0$

Schritt 7.3

Dividiere $5.3$ durch $11$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (0.4\overline{81}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (0.4\overline{81})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$ durch $2 \ln (1.06)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$ durch $2 \ln (1.06)$ .

$\frac{2 x \ln (1.06)}{2 \ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (1.06)}{2 \ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.06)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Dezimalform:

$x = 6.26567817 \dots$