Finite Mathematik Beispiele

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Schritt 1

Schreibe $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ als Gleichung.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ um.

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ durch $20000$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ durch $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20000$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere ${1.02}^{y}$ durch $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln ({1.02}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ durch $\ln (1.02)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ durch $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.02)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ die Umkehrfunktion von $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $P^{- 1} (P (t)) = t$ ist und $P (P^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $P^{- 1} (P (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$P^{- 1} (P (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ durch Einsetzen des Wertes von $P$ in $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20000$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere ${(1.02)}^{t}$ durch $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln ({(1.02)}^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.02)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Schritt 5.3

Berechne $P (P^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$P (P^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ durch Einsetzen des Wertes von $P^{- 1}$ in $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Schritt 5.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20000$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Schritt 5.4

Da $P^{- 1} (P (t)) = t$ und $P (P^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$