Finite Mathematik Beispiele

$6 - | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $| 2 x^{2} - 8 x - 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 3 - 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- | 2 x^{2} - 8 x - 1 | = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- | 2 x^{2} - 8 x - 1 |}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| 2 x^{2} - 8 x - 1 |}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $| 2 x^{2} - 8 x - 1 |$ durch $1$ .

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 | = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$| 2 x^{2} - 8 x - 1 | = 9$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x^{2} - 8 x - 1 = \pm 9$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x^{2} - 8 x - 1 = 9$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 8 x - 1 - 9 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $9$ von $- 1$ .

$2 x^{2} - 8 x - 10 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8 x - 10$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 8 x - 10 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) - 10 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 5 = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 5$ heraus.

$2 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 1$

Schritt 4.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x^{2} - 8 x - 1 = - 9$

Schritt 4.10

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 8 x - 1 + 9 = 0$

Schritt 4.11

Addiere $- 1$ und $9$ .

$2 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Schritt 4.12

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 4.12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 8 x + 8 = 0$

Schritt 4.12.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8 = 0$

Schritt 4.12.1.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 4.12.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 4.12.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ heraus.

$2 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 4.12.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.12.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.12.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 4.12.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.12.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$2 {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.13

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 2)}^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 2)}^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.13.2.1.2

Dividiere ${(x - 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.13.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.14

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.15

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 1, 2$