Finite Mathematik Beispiele

$7 = \frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r} = 7$ um.

$\frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r} = 7$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 - r$ .

$\frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r} (1 - r) = 7 (1 - r)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r} (1 - r)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - r$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (1 - r x^{2})}{1 - r} (1 - r) = 7 (1 - r)$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (1 - r x^{2}) = 7 (1 - r)$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- r x^{2}) = 7 (1 - r)$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- r x^{2}) = 7 (1 - r)$

Schritt 3.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 (r x^{2}) = 7 (1 - r)$

Schritt 3.1.1.3.3

Stelle $4$ und $- 4 r x^{2}$ um.

$- 4 r x^{2} + 4 = 7 (1 - r)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $7 (1 - r)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 r x^{2} + 4 = 7 \cdot 1 + 7 (- r)$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 4 r x^{2} + 4 = 7 + 7 (- r)$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 4 r x^{2} + 4 = 7 - 7 r$

Schritt 3.2.1.2.3

Stelle $7$ und $- 7 r$ um.

$- 4 r x^{2} + 4 = - 7 r + 7$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 r x^{2} = - 7 r + 7 - 4$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$- 4 r x^{2} = - 7 r + 3$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 r x^{2} = - 7 r + 3$ durch $- 4 r$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 r x^{2} = - 7 r + 3$ durch $- 4 r$ .

$\frac{- 4 r x^{2}}{- 4 r} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 r x^{2}}{- 4 r} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r x^{2}}{r} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r x^{2}}{r} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 7 r}{- 4 r} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{- 7}{- 4} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{7}{4} + \frac{3}{- 4 r}$

Schritt 4.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = \frac{7}{4} - \frac{3}{4 r}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{3}{4 r}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{3}{4 r}}$ .

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Schritt 4.4.1

Um $\frac{7}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r}{r}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{4} \cdot \frac{r}{r} - \frac{3}{4 r}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{r}{r}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{7 r}{4 r} - \frac{3}{4 r}}$

Schritt 4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{7 r - 3}{4 r}}$

Schritt 4.4.4

Schreibe $\frac{7 r - 3}{4 r}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7 r - 3}{r}$ um.

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $7 r - 3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 r - 3)}{4 r}}$

Schritt 4.4.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 r$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 r - 3)}{2^{2} r}}$

Schritt 4.4.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (7 r - 3)}{2^{2} r}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7 r - 3}{r}}$

Schritt 4.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{7 r - 3}{r}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{7 r - 3}{r}}$ als $\frac{\sqrt{7 r - 3}}{\sqrt{r}}$ um.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3}}{\sqrt{r}}$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7 r - 3}}{\sqrt{r}}$ mit $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{7 r - 3}}{\sqrt{r}} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}})$

Schritt 4.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7 r - 3}}{\sqrt{r}}$ mit $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{r}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{\sqrt{r} \sqrt{r}}$

Schritt 4.4.8.2

Potenziere $\sqrt{r}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1} \sqrt{r}}$

Schritt 4.4.8.3

Potenziere $\sqrt{r}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1} {\sqrt{r}}^{1}}$

Schritt 4.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{{\sqrt{r}}^{2}}$

Schritt 4.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{r}}^{2}$ als $r$ um.

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Schritt 4.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{{(r^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{r^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{r^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{r^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{r^{1}}$

Schritt 4.4.8.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 r - 3} \sqrt{r}}{r}$

Schritt 4.4.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(7 r - 3) r}}{r}$

Schritt 4.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{(7 r - 3) r}}{r}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(7 r - 3) r}}{2 r}$

Schritt 4.4.11

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(7 r - 3) r}}{2 r}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

$x = - \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

$x = \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

$x = - \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

$x = \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$

$x = - \frac{\sqrt{r (7 r - 3)}}{2 r}$