Finite Mathematik Beispiele

$9 x^{4} + 18 x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{4} + 18 x^{3} - x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$x (9 x^{3}) + 18 x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$x (9 x^{3}) + x (18 x^{2}) - x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x (9 x^{3}) + x (18 x^{2}) + x (- x) - 2 x = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x (9 x^{3}) + x (18 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{3}) + x (18 x^{2})$ heraus.

$x (9 x^{3} + 18 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{3} + 18 x^{2}) + x (- x)$ heraus.

$x (9 x^{3} + 18 x^{2} - x) + x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{3} + 18 x^{2} - x) + x \cdot - 2$ heraus.

$x (9 x^{3} + 18 x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((9 x^{3} + 18 x^{2}) - x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (9 x^{2} (x + 2) - (x + 2)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$x ((x + 2) (9 x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$x ((x + 2) ({(3 x)}^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((x + 2) ({(3 x)}^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$x ((x + 2) ((3 x + 1) (3 x - 1))) = 0$

Schritt 1.6.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x + 2) (3 x + 1) (3 x - 1)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (3 x + 1) (3 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (3 x + 1) (3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, - 2, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$x = 0, - 2, - 0.\overline{3}, 0.\overline{3}$