Finite Mathematik Beispiele

$y = \frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$ um.

$\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{5^{2} - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$8 + x^{2}, 1$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$8 + x^{2}, 1$

Schritt 3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$8 + x^{2}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ mit $8 + x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ mit $8 + x^{2}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 + x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(5 + x) (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 - x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$25 + 0 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $25$ und $0$ .

$25 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 - x^{2} = y \cdot 8 + y x^{2}$

Schritt 4.3.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

$25 - x^{2} = 8 y + y x^{2}$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 - x^{2} - y x^{2} = 8 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - y x^{2} = 8 y - 25$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} - y x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} \cdot - 1 - y x^{2} = 8 y - 25$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- y x^{2}$ heraus.

$x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y) = 8 y - 25$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y)$ heraus.

$x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ durch $- 1 - y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ durch $- 1 - y$ .

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 - y}$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - y}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - (y)}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (y)$ heraus.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1 + y)}$

Schritt 5.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{8 y - 25}{1 + y}$

Schritt 5.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$