Finite Mathematik Beispiele

$8 y^{3} - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $8 y^{3}$ als ${(2 y)}^{3}$ um.

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 y$ und $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $4 y^{2} + 2 y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 y^{2} + 2 y + 1$ gleich $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$