Finite Mathematik Beispiele

$7 y^{3} - 55 y^{2} - 8 y = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y^{3} - 55 y^{2} - 8 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y^{3}$ heraus.

$y (7 y^{2}) - 55 y^{2} - 8 y = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 55 y^{2}$ heraus.

$y (7 y^{2}) + y (- 55 y) - 8 y = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $- 8 y$ heraus.

$y (7 y^{2}) + y (- 55 y) + y \cdot - 8 = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y (7 y^{2}) + y (- 55 y)$ heraus.

$y (7 y^{2} - 55 y) + y \cdot - 8 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $y$ aus $y (7 y^{2} - 55 y) + y \cdot - 8$ heraus.

$y (7 y^{2} - 55 y - 8) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 8 = - 56$ und deren Summe gleich $b = - 55$ ist.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 55$ aus $- 55 y$ heraus.

$y (7 y^{2} - 55 y - 8) = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $- 55$ um als $1$ plus $- 56$

$y (7 y^{2} + (1 - 56) y - 8) = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y (7 y^{2} + 1 y - 56 y - 8) = 0$

Schritt 1.2.1.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y (7 y^{2} + y - 56 y - 8) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y ((7 y^{2} + y) - 56 y - 8) = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (y (7 y + 1) - 8 (7 y + 1)) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 y + 1$ .

$y ((7 y + 1) (y - 8)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (7 y + 1) (y - 8) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$7 y + 1 = 0$

$y - 8 = 0$

Schritt 3

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 4

Setze $7 y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $7 y + 1$ gleich $0$ .

$7 y + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $7 y + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y = - 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = - 1$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{- 1}{7}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{- 1}{7}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{7}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{7}$

Schritt 5

Setze $y - 8$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y - 8$ gleich $0$ .

$y - 8 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (7 y + 1) (y - 8) = 0$ wahr machen.

$y = 0, - \frac{1}{7}, 8$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 0, - \frac{1}{7}, 8$

Dezimalform:

$y = 0, - 0.\overline{142857}, 8$