Finite Mathematik Beispiele

$y = 2 x - | 4 - x^{2} |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 x - | 4 - x^{2} | = y$ um.

$2 x - | 4 - x^{2} | = y$

Schritt 2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- | 4 - x^{2} |}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| 4 - x^{2} |}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $| 4 - x^{2} |$ durch $1$ .

$| 4 - x^{2} | = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - 1 \cdot y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

$| 4 - x^{2} | = - y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - y - 1 \cdot (- 2 x)$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x)$ als $- (- 2 x)$ um.

$| 4 - x^{2} | = - y - (- 2 x)$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$| 4 - x^{2} | = - y + 2 x$

Schritt 4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$4 - x^{2} = \pm (- y + 2 x)$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$4 - x^{2} = - y + 2 x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 - x^{2} - 2 x = - y$

Schritt 5.3

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 - x^{2} - 2 x + y = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 2$ und $c = 4 + y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 + y))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.5

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $20 + 4 y$ heraus.

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Schritt 5.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5 + 4 y$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$

Schritt 5.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Schritt 5.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$ als $- (1 \pm \sqrt{5 + y})$ um.

$x = - (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

Schritt 5.8

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Schritt 5.9

Vereinfache $- (- y + 2 x)$ .

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Schritt 5.9.1

Forme um.

$4 - x^{2} = 0 + 0 - (- y + 2 x)$

Schritt 5.9.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Schritt 5.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 - x^{2} = - - y - (2 x)$

Schritt 5.9.4

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 5.9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 - x^{2} = 1 y - (2 x)$

Schritt 5.9.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 - x^{2} = y - (2 x)$

Schritt 5.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 - x^{2} = y - 2 x$

Schritt 5.10

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 - x^{2} + 2 x = y$

Schritt 5.11

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 - x^{2} + 2 x - y = 0$

Schritt 5.12

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.13

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2$ und $c = 4 - y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 - y))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14

Vereinfache.

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Schritt 5.14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.14.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.6

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.7

Faktorisiere $4$ aus $20 - 4 y$ heraus.

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Schritt 5.14.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5) + 4 (- y)$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$

Schritt 5.14.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5 - y}$

Schritt 5.15

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

Schritt 5.16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$