Finite Mathematik Beispiele

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ um.

$- \sqrt{49 - x^{2}} = y$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - x^{2}}}{- 1} = \frac{y}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{49 - x^{2}}}{1} = \frac{y}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 2.2.1.2.1

Dividiere $\sqrt{49 - x^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{49 - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\sqrt{7^{2} - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7$ und $b = x$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = \frac{y}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - 1 \cdot y$

Schritt 2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - y$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}^{2} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ als ${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((7 + x) (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(7 + x) (7 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 (7 - x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

${(49 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

${(49 - 7 x + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

${(49 - 7 x + 7 \cdot x + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(49 - 7 x + 7 x - x \cdot x)}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - (x \cdot x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Addiere $- 7 x$ und $7 x$ .

${(49 + 0 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.3

Addiere $49$ und $0$ .

${(49 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$49 - x^{2} = {(- y)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(- y)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$49 - x^{2} = {(- 1)}^{2} y^{2}$

Schritt 4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$49 - x^{2} = 1 y^{2}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$49 - x^{2} = y^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = y^{2} - 49$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = y^{2} - 49$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = y^{2} - 49$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Dividiere $- 49$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 49$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 49}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- y^{2} + 49}$ .

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 7^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{7^{2} - y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$