Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ um.

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (\frac{1}{x})$ als $\ln (1) - \ln (x)$ um.

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $\ln (x)$ von $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- 1 (- \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (x^{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ durch $- \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ durch $- \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$