Finite Mathematik Beispiele

\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

{(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ um.

{(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege

\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ durch Herausziehen von

y - 1

$y - 1$ aus dem Logarithmus.

(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.2

Schreibe

\ln (\frac{1}{x})

$\ln (\frac{1}{x})$ als

\ln (1) - \ln (x)

$\ln (1) - \ln (x)$ um.

(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von

1

$1$ ist

0

$0$ .

(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.4

Subtrahiere

\ln (x)

$\ln (x)$ von

0

$0$ .

(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache

(y - 1) (- \ln (x))

$(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.3

Multipliziere

- 1 (- \ln (x))

$- 1 (- \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere

\ln (x)

$\ln (x)$ mit

1

$1$ .

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere

x

$x$ mit

x^{4}

$x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x^{4}

$x^{4}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Schritt 7.2.2

Addiere

1

$1$ und

4

$4$ .

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere

\ln (x^{5})

$\ln (x^{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ durch

- \ln (x)

$- \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ durch

- \ln (x)

$- \ln (x)$ .

\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (x)

$\ln (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$