Finite Mathematik Beispiele

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = b

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = b$

Schritt 1

Subtrahiere

b

$b$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - b = 0

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - b = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 2

$b = 2$ und

c = x^{2} - 4 x - b

$c = x^{2} - 4 x - b$ in die Quadratformel ein und löse nach

y

$y$ auf.

\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 4 x - b))}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 4 x - b))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 4

$- 4$ .

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 4

$- 4$ .

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b

$4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

4

$4$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere

4

$4$ aus

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3

Faktorisiere

4

$4$ aus

16 x

$16 x$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.4

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})

$4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.5

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x)

$4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.6

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b

$4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b$ heraus.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe

4 (1 - x^{2} + 4 x + b)

$4 (1 - x^{2} + 4 x + b)$ als

2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)

$2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)$ um.

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache

\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$ .

y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}

$y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}

$y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

y = - 1 + \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}

$y = - 1 + \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

y = - 1 - \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}

$y = - 1 - \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$