Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{y + 40} = \sqrt{y} + 4$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 40}}^{2} = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 40}$ als ${(y + 40)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(y + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 40)}^{1} = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$y + 40 = {(\sqrt{y} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{y} + 4)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{y} + 4)}^{2}$ als $(\sqrt{y} + 4) (\sqrt{y} + 4)$ um.

$y + 40 = (\sqrt{y} + 4) (\sqrt{y} + 4)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{y} + 4) (\sqrt{y} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 40 = \sqrt{y} (\sqrt{y} + 4) + 4 (\sqrt{y} + 4)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 40 = \sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 (\sqrt{y} + 4)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 40 = \sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{y} \sqrt{y}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$y + 40 = {\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$y + 40 = {\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 40 = {\sqrt{y}}^{1 + 1} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y + 40 = {\sqrt{y}}^{2} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + 40 = {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 40 = y^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + 40 = y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 40 = y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 40 = y^{1} + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$y + 40 = y + \sqrt{y} \cdot 4 + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{y}$ .

$y + 40 = y + 4 \cdot \sqrt{y} + 4 \sqrt{y} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y + 40 = y + 4 \sqrt{y} + 4 \sqrt{y} + 16$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $4 \sqrt{y}$ und $4 \sqrt{y}$ .

$y + 40 = y + 8 \sqrt{y} + 16$

Schritt 3

Löse nach $8 \sqrt{y}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y + 8 \sqrt{y} + 16 = y + 40$ um.

$y + 8 \sqrt{y} + 16 = y + 40$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $8 \sqrt{y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \sqrt{y} + 16 = y + 40 - y$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \sqrt{y} = y + 40 - y - 16$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + 40 - y - 16$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$8 \sqrt{y} = 0 + 40 - 16$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $40$ .

$8 \sqrt{y} = 40 - 16$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $16$ von $40$ .

$8 \sqrt{y} = 24$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(8 \sqrt{y})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(8 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(8 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 y^{\frac{1}{2}}$ an.

$8^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$64 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$64 y^{1} = 24^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$64 y = 24^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$64 y = 576$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $64 y = 576$ durch $64$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $64 y = 576$ durch $64$ .

$\frac{64 y}{64} = \frac{576}{64}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 y}{64} = \frac{576}{64}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{576}{64}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $576$ durch $64$ .

$y = 9$