Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15} = 2 y$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}$ als ${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$5 y^{2} - 8 y + 15 = {(2 y)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 y)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 2^{2} y^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 4 y^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} - 8 y + 15 - 4 y^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $5 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 15 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $y^{2} - 8 y + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y - 5) (y - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

Schritt 3.5

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 5) (y - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 5, 3$