Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{4 y + 20}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $v y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Schritt 1.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Schritt 1.3

Addiere $6$ und $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 y + 20}$ als ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(v y + 10)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(v y + 10)}^{2}$ als $(v y + 10) (v y + 10)$ um.

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(v y + 10) (v y + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Bewege $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $10 v y$ und $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $20$ von $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ und $c = 80$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5

Es sei $u = v^{2} \cdot 80$ . Ersetze $u$ für alle $v^{2} \cdot 80$ .

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Schritt 4.6.5.1

Schreibe ${(20 v - 4)}^{2}$ als $(20 v - 4) (20 v - 4)$ um.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.2

Multipliziere $(20 v - 4) (20 v - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.2

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.5.3.1.2.1

Bewege $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.5

Mutltipliziere $20$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.5.3.2

Subtrahiere $80 v$ von $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6

Faktorisiere $4$ aus $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $400 v^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 160 v$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.7

Ersetze alle $u$ durch $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.8

Vereinfache.

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Schritt 4.6.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.8.1.1

Bringe $80$ auf die linke Seite von $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.8.1.2

Mutltipliziere $80$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.8.2

Subtrahiere $80 v^{2}$ von $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.9

Faktorisiere $4$ aus $20 v^{2} - 40 v + 4$ heraus.

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Schritt 4.6.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20 v^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.9.2

Faktorisiere $4$ aus $- 40 v$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.9.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.9.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.9.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.11

Schreibe $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ als ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ um.

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Schritt 4.6.11.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.6.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$