Finite Mathematik Beispiele

$\frac{4}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2} - 7 y + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $8$ aus $8 y - 16$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y) - 16}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y + 8 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 y + 8 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(y - 5) (y - 2), y - 5, 8 (y - 2)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Die Primfaktoren von $8$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 2.4.2

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8$

Schritt 2.6

Der Teiler von $y - 5$ ist $y - 5$ selbst.

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $y - 2$ ist $y - 2$ selbst.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $y - 5$ ist $y - 5$ selbst.

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Der Teiler von $y - 2$ ist $y - 2$ selbst.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.10

Das kgV von $y - 5, y - 2, y - 5, y - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(y - 5) (y - 2)$

Schritt 2.11

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$8 (y - 5) (y - 2)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ mit $8 (y - 5) (y - 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ mit $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y - 5) (y - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$32 - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y - 5}$ in den Zähler.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $y - 5$ aus $8 (y - 5) (y - 2)$ heraus.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$32 - (8 (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$32 - 8 (y - 2) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$32 - 8 y - 8 \cdot - 2 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$32 - 8 y + 16 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.2.2

Addiere $32$ und $16$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 5) (y - 2))$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y - 2$ aus $(y - 5) (y - 2)$ heraus.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 y + 48 = y - 5$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y + 48 - y = - 5$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $y$ von $- 8 y$ .

$- 9 y + 48 = - 5$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y = - 5 - 48$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $48$ von $- 5$ .

$- 9 y = - 53$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = - 53$ durch $- 9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = - 53$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 53}{- 9}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{53}{9}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{53}{9}$

Dezimalform:

$y = 5.\overline{8}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = 5 \frac{8}{9}$