Finite Mathematik Beispiele

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y^{\frac{2}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Schritt 2

Ersetze $y^{\frac{2}{5}}$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{6}$ heraus.

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $u$ aus $35 u$ heraus.

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Schritt 3.1.1.4

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ heraus.

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Schritt 3.1.1.5

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ heraus.

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $u^{5}$ als ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ um.

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Schritt 3.1.3

Es sei $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 3.1.4.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 u$ heraus.

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Schritt 3.1.4.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 7$ plus $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Schritt 3.1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Schritt 3.1.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Schritt 3.1.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.5.1

Ersetze alle $u$ durch $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Schritt 3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ gleich $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 u^{\frac{5}{2}}$ an.

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Vereinfache.

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.3.1.4

Stelle die Faktoren in $2^{\frac{2}{5}} u$ um.

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ durch $2^{\frac{2}{5}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ durch $2^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 3.4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 3.4.2.4.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 3.5

Setze $u^{\frac{5}{2}} - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u^{\frac{5}{2}} - 5$ gleich $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Schritt 3.5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Vereinfache.

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Schritt 5

Löse nach $y^{\frac{2}{5}} = 0$ auf für $y$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm 0^{5}$

Schritt 5.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \pm 0$

Schritt 5.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 6

Löse nach $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ auf für $y$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ an.

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 6.2.2.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 6.2.2.1.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Schritt 7

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$y = 5$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ nicht erfüllen.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Dezimalform:

$y = 0, 3.5, 5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$