Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 9} + \frac{3}{x (x - 3)}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{3}{x (x - 3)}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x (x - 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{3}{x (x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 3) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 3) (x - 3) x} + \frac{3}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 3) (x - 3) x} + \frac{3 (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (x - 3) x$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $x (x - 3) (x + 3)$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 3)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x + 3 (x + 3)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 (x + 3)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 \cdot 3}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 9}{x (x + 3) (x - 3)}$