Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 12} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ um.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 5) (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 5) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 5 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $3 x$ und $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x - - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x + 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(- x + 7) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x (x - 3) + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.6.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.6.2

Addiere $3 x$ und $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{8 x + 15 + 0 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.8

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{8 x + 15 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.9

Addiere $8 x$ und $10 x$ .

$\frac{18 x + 15 - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.10

Subtrahiere $21$ von $15$ .

$\frac{18 x - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.11

Faktorisiere $6$ aus $18 x - 6$ heraus.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $6$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{6 (3 x) - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.11.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{6 (3 x) + 6 (- 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Schritt 6.11.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (3 x) + 6 (- 1)$ heraus.

$\frac{6 (3 x - 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$