Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x^{2} - 30 x}{2 x^{5}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2} - 30 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x) - 30 x}{2 x^{5}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $15 x$ aus $- 30 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x) + 15 x (- 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x (x) + 15 x (- 2)$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 15$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 (x) + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 x + 5 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot 3$ heraus.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $5 (x + 3)$ heraus.

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{(x + 3) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{(x + 3) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x + 3}{x - 4}$ .

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x (x - 2)$ heraus.

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{5 (3 x (x - 2))}{2 x^{5}}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{5 (3 x (x - 2))}{2 x^{5}}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{3 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x - 4}$ mit $\frac{3 x (x - 2)}{2 x^{5}}$ .

$\frac{(x + 3) (3 x (x - 2))}{(x - 4) (2 x^{5})}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{5}$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $(x + 3) (3 x (x - 2))$ heraus.

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{(x - 4) (2 x^{5})}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $(x - 4) (2 x^{5})$ heraus.

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{x ((x - 4) (2 x^{4}))}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{x ((x - 4) (2 x^{4}))}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 3) (3 (x - 2))}{(x - 4) (2 x^{4})}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) (x - 2)}{(x - 4) \cdot 2 x^{4}}$

Schritt 4.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) (x - 2)}{2 \cdot (x - 4) x^{4}}$

Schritt 4.7.3

Stelle die Faktoren in $\frac{3 (x + 3) (x - 2)}{2 (x - 4) x^{4}}$ um.

$\frac{3 (x + 3) (x - 2)}{2 x^{4} (x - 4)}$