Finite Mathematik Beispiele

$1 + \frac{1}{\frac{z}{z - \frac{1}{z}}}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 + 1 \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $\frac{z - \frac{1}{z}}{z}$ mit $1$ .

$1 + \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.1

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$1 + \frac{\frac{z \cdot z}{z} - \frac{1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{\frac{z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3

Schreibe $\frac{z \cdot z - 1}{z}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.1.3.3.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z - 1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z^{1} - 1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{\frac{z^{1 + 1} - 1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1^{2}}{z}}{z}$

Schritt 1.1.3.3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 1$ .

$1 + \frac{\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}}{z}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}$ mit $\frac{1}{z}$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z \cdot z}$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z}$

Schritt 1.1.5.3

Potenziere $z$ mit $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z^{1}}$

Schritt 1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z^{2}}{z^{2}} + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z^{2} + (z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Multipliziere $(z + 1) (z - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + z (z - 1) + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1 \cdot z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe $- 1 z$ als $- z$ um.

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- z$ und $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + 0 - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.2.3

Addiere $z^{2}$ und $0$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1}{z^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $z^{2}$ und $z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 1}{z^{2}}$