Finite Mathematik Beispiele

$8000 = \frac{200 ({(1.04)}^{n} - 1)}{0.04}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = 8000$ um.

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = 8000$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{0.04}{200}$ .

$\frac{0.04}{200} \cdot \frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{0.04}{200} \cdot \frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{0.04 (200 ({1.04}^{n} - 1))}{200 \cdot 0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.04$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.04 (200 ({1.04}^{n} - 1))}{200 \cdot 0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{200} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{200} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.1.1.3.2

Dividiere ${1.04}^{n} - 1$ durch $1$ .

${1.04}^{n} - 1 = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{0.04}{200} \cdot 8000$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.04$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{8000}{25}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $200$ aus $8000$ heraus.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{200 (40)}{25}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{200 \cdot 40}{25}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{40}{25}$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $25$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 (8)}{25}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 \cdot 8}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 \cdot 8}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{8}{5}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${1.04}^{n} = \frac{8}{5} + 1$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${1.04}^{n} = \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${1.04}^{n} = \frac{8 + 5}{5}$

Schritt 4.4

Addiere $8$ und $5$ .

${1.04}^{n} = \frac{13}{5}$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.04}^{n}) = \ln (\frac{13}{5})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({1.04}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$ durch $\ln (1.04)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$ durch $\ln (1.04)$ .

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.04)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Dezimalform:

$n = 24.36241894 \dots$